Contents
- 1 Задание №01. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
- 2 Задание №02
- 3 Задание №03
- 4 Задание №04. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
- 5 Задание №05
- 6 Задание №06. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
- 7 Задание №07
- 8 Задание №08. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
- 9 Задание №09
- 10 Задание №10. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
- 11 Задание №11. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
- 12 Задание №12
- 13 Задание №13
- 14 Задание №14. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
- 15 Задание №15
- 16 Задание №16. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
- 17 Задание №17. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
- 18 Задание №18
- 19 Задание №19
- 20
Задание №01. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
В доме, где живёт Оля, 9 этажей и несколько подъездов. В каждом подъезде на каждом этаже находится по 3 квартиры. Оля живёт в квартире № 78. В каком подъезде находится квартира Оли?
Решение
На 9-ти этажах каждого подъезда 9*3 = 27 квартир ⇒
78/27 = (2*24)/27 ⇒ Оля живет во 3-м подъезде.
Ответ: 3.
Задание №02
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года.
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с по ноября года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку, сколько дней в этот период выпадало более 3 миллиметров осадков.
Решение
На графике видно — 2 дня в этот период выпадало более 3 миллиметров осадков.
Ответ: 2дня.
Задание №03
На клетчатой бумаге с размером клетки изображён треугольник. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
Решение
Средняя линия треугольника равна половине той стороны, которой она параллельна. Длина стороны АВ равна 6 ⇒ длина средней линии 3.
Ответ: 3.
Задание №04. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
Фабрика выпускает сумки. В среднем 12 сумок из 150 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Решение
Без дефектов выпускают 138 сумок из каждых 150 ⇒ вероятность равна:
138/150 = 0,92.
Ответ: 0,92.
Задание №05
Найдите корень уравнения:
Решение
Ответ: -1.
Задание №06. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 44, CD = 55.
Решение
В четырехугольник можно вписать окружность при условии:
AB + CD = BC + AD ⇒
PABCD = AB + CD + BC + DA = 2(AB + CD) = 198.
Ответ: 198.
Задание №07
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f (x), определённой на интервале (−1; 10).
Решение
Решениями уравнения f ′(x) = 0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции f (x). Из них на отрезке [4; 8] лежат 2 точки ⇒ на отрезке [4; 8] уравнение f (x) = 0 имеет 2 решения.
Ответ: 2.
Задание №08. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что АВ = 3, AD = 6, AA1 = 8. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, В и С1 .
Решение
Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение ABC1D1 — параллелограмм. Ребро D1C1 перпендикулярно граням BB1C1C и AA1D1D ⇒ углы AD1C1 и D1C1B — прямые ⇒ сечение ABC1D1 — прямоугольник.
Из прямоугольного треугольника AA1D1 найдем AD1:
AD1 = √(AD² + (AA1)²) = √(6² + 8²) = 10.
Площадь прямоугольника ABC1D1 равна:
S = AB*AD1 = 3*10 = 30.
Ответ: 30.
Задание №09
Найдите значение выражения:
Решение
Формула косинуса двойного угла:
Ответ: -4.
Задание №10. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
Автомобиль массой m кг начинает тормозить и проходит до полной остановки путь S м. Сила трения F (в Н), масса автомобиля m (в кг), время t (в с) и пройденный путь S (в м) связаны соотношением F = 2mS/t². Определите, сколько секунд заняло торможение, если известно, что сила трения равна 2000 Н, масса автомобиля — 1500 кг, путь — 600 м.
Решение
Преобразуем данную в условии формулу:
F = 2mS/t²,
t = √(2mS/F).
Подставим значения:
t = √(2*1500*600/2000) = 30.
Ответ: 30.
Задание №11. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть скорость второго автомобиля равна υ км/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй ⇒
80 * 2/3 = υ * 2/3 + 14,
2υ = 80*2 — 14*3,
υ = 59.
Ответ: 59.
Задание №12
Найдите точку максимума функции:
y = (x²+81)/x
Решение
Найдем производную заданной функции:
Ответ: 9.
Задание №13
а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π/2 ; 2π].
Решение
а) Запишем уравнение в виде системы:
Ответ: a) x = 5π/6+2πk, x = π/2+2πm, k, m∈Z, б) π/2, 5π/6.
Задание №14. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.
- а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру MD.
- б) Найдите угол между плоскостью α и прямой AC.
Решение
а) Точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α пересекает грань BMC по отрезку KL (точка L лежит на ребре BC), параллельному ребру MC. Ребро CD параллельно ребру AB, а ребро AB параллельно отрезку QK ⇒ плоскость α параллельна плоскости грани CMD ⇒ прямая MD параллельна плоскости α.
б) Пусть длина стороны основания равна a. Вместо плоскости α рассмотрим параллельную ей плоскость CMD. Проведём к ней перпендикуляр OH из центра основания — точки O. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью MOH. Это сечение — прямоугольный равнобедренный треугольник NMG, поскольку по условию грани CMD и AMB перпендикулярны. Отрезок OH параллелен катету MN этого треугольника и равен его половине:
Ответ: 30º.
Задание №15
Решите неравенство:
Решение
Ответ: (-∞; 0)∪(1; 2)∪(3; +∞).
Задание №16. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M — середина стороны AB.
- А. Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов.
- Б. Найдите площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB = 10.
Решение
Ответ: Б. 49.
Задание №17. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике
В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год | Июль 2019 | Июль 2020 | Июль 2021 | Июль 2022 |
Долг (в млн рублей) | S | 0, 6S | 0, 25S | 0 |
Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.
Решение
В январе 2020 года долг будет составлять 1,3S млн рублей, а в июле 2020 года — 0,6S млн рублей ⇒ выплата в 2020 году будет 0,7S млн рублей.
В январе 2021 года долг будет составлять 1,3 · 0,6S = 0,78S млн рублей, а в июле 2021 года — 0,25S млн рублей ⇒ выплата в 2021 году составит 0,53S млн рублей.
В январе 2022 года долг перед банком составит:
1,3*0,25S = 0.325S млн рублей,
в июле — 0 рублей ⇒ выплата в 2022 году составит 0,325S млн рублей.
Составим и решим систему:
Наибольшее целое решение системы 7.
Ответ: 7.
Задание №18
Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение:
имеет ровно два различных корня на промежутке [−1;1).
Решение
Ответ: -0,5 =<a<0.5.
Задание №19
Все члены возрастающих арифметических прогрессий a1, a2, … и b1, b2, … являются натуральными числами.
А. Приведите пример таких прогрессий, для которых a1b1 + 2a3b3 = 4a2b2. Б. Существуют ли такие прогрессии, для которых 2a1b1 + a4b4 = 3a2b2?
В. Какое наибольшее значение может принимать произведение a2b2, если 2a1b1 + a4b4 ≤ 210?
Решение
Ответ: а) 2, 3, 4,… и 2, 3, 4,…; б) нет; в) 68.