Решение варианта №249. ЕГЭ 2019 по математике Ларин

Задание 1. Вариант 249 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике

Оплата за использование природного газа составляла 20 рублей на одного человека в месяц. С нового года она повысилась на 20%. Сколько рублей должна заплатить семья из трех человек за использование природного газа за три месяца?

Решение

После повышения цены на 20%, оплата стала ​20∗1,2=24​ рубля за 1 человека

​24∗3∗3=216​ рублей за 3 человека за 3 месяца

Ответ: 216.

Задание 2

На графике представлено изменение биржевой стоимости акций банка за 3 месяца 2018 года. По горизонтали указаны даты, по вертикали – цена одной акции в рублях.

Бизнесмен в указанный период купил пакет из 500 акций этого банка, а затем продал его с наибольшей прибылью. Какое наибольшее количество рублей мог получить бизнесмен в результате этих операций?

Решение

• 20.05 куплено по цене 50.
• 10.06 продано по цене 60.

Прибыль:

$$(60-50)\ast 500=5000.$$

Ответ: 5000.

Задание 3

Две стороны прямоугольника ABCD равны 12 и 5. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов АО и ВО .

Решение

ADˉ−BDˉ=OCˉ−ODˉ=CDˉ

∣​CDˉ∣ ​= 5

Ответ: 5.

Задание 4. Вариант 249 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Гусеница ползет вверх по ветви куста. На каждой развилке гусеница с равными шансами может попасть на любую из растущих веточек. Найдите вероятность того, что гусеница доберется до одного из листьев. Ответ округлите до сотых.

Решение

P1=1/2∗1/2∗1/3∗1/2= 124.

P2 = 1/2∗1/4∗1/2 = 116.

P3 = 12∗14∗12 = 116.

P = P1+P2+P3 = 0.17.

Ответ: 0,17.

Задание 5. Вариант 249 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Решите уравнение:

log7​(3−x)=log6​(3−x).

Решение

Равенство двух логарифмов, у которых разные основания, но одинаковые логарифмируемые выражения, будет только в том случае, когда логарифмируемое выражение равно 1:

$$3-x=1\iff x=2$$

Ответ: 2.

Задание 6. Вариант 249 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 5√12

Решение

Ответ: 20.

Задание 7

На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (‐5;4). Найдите точку минимума функции f(x) на этом интервале.

Решение

Точка минимума , когда {f}’ переходит с — на + (был график под Ox, стал над Ox):

x= 3

Ответ: 3.

Задание 8

Найдите радиус сферы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен 3 и образующая равна 8.

Решение

Ответ: 5.

Задание 9

Найдите значение выражения:

при b = 5/7.

Решение

Ответ: 1,4.

Задание 10. Вариант 249 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f= 25 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 до 40 см, а расстояние d2 от линзы до экрана может изменяться в пределах от 120 до 150 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение:

1/d1 + 1/d2 = 1/f.

Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение

Ответ: 30.

Задание 11. Вариант 249 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи.
Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.

Решение

Пусть второе тело проходит до встречи x км, тогда первое проходит:

x+100 км.

После встречи первое за 9 минут пройдет x метров со скоростью:

 v1=x/9.

Второе за 16 минут пройдет:

x+100 метров со скоростью:

v2 = (x+100)/16.

До встречи время первого:

(x+100)/v1 = 9(x+100)/x,

время второго до встречи:

x/v2 = 16x/(x+100).

Приравняем:  9(x+100)/x = 16x/(x+100).

Следовательно x=300.

Весь путь:  x+x+100 = 700.

Ответ: 700.

Задание 12. Вариант 249 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

Найдите точку максимума функции:

y = 6lnx−(x−2)².

Решение

Дан логарифм, следовательно ОДЗ: $$x>0.$$

Найдем производную данной функции:

y′ = 6/x ​− 2(x−2).

Приравняем производную к нулю:

(6−2x²+4x​)/x = 0.

2x²−4x+6 = 0 ⇔ x²−2x+3=0 ⇔ (x-3)(x+1) = 0.

Производная имеет вид:

y′ = (−2(x−3)(x+1)​)/x.

С учетом ОДЗ и знаков производной на полученных промежутках ((0;3) и (3;∞)) получим:

x(3)=xmax​

Ответ: 3.

Задание 13

а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-pi;pi/2]

Решение

Ответ:

в) π/4 + 2π$$n\in Z.$$

б) π/4.​

Задание 14

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 1. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Через вершину А параллельно диагонали BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 1:2, считая от вершины.

• А) Докажите, что плоскость сечения проходит через середину отрезка SO, где О – центр основания.
• Б) Найдите площадь сечения.

Решение

Ответ: 1/2.​

Задание 15. Вариант 249 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

Решите неравенство:

Решение

Ответ:

Задание 16. Вариант 249 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС расположены точки Е и D соответственно так, что AD – биссектриса треугольника АВС, DE – биссектриса треугольника ABD, AE=ED=9/16, CD=3/4.

• А) Найдите АС.
• Б) Найдите площадь треугольника АВС.

Решение

Ответ: (2√5)/7.

Задание 17. Вариант 249 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объеме t2Гб входящей в него информации выходит 20t Гб, а с сервера №2 при объеме t2Гб входящей в него информации выходит 21t Гб обработанной информации (25≤t≤55). Каков наибольший общий объем выходящей информации при общем объеме входящей информации в 3364 Гб?

Решение

Пусть $$x²$$— вход на первый сервер, тогда выход с него 20x,

пусть y² — на второй сервер, выход с него $$21y$$.

Ответ: 1682.

Задание 18 Вариант 249 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений имеет решения:

Решение

Обоснование:

Если ветви направлены вверх и f(-1)<0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности (x2​)

Если ветви направлены вниз и f(-1)>0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности (x2​)

Пересечений нет, значит случай невозможен и хотя бы один корень $$\ge -1$$. Тогда с учетом (*):

a∈(−∞;−5−4√2​]∪[−5+4√2​; +∞)

2) $$x+1<0\Rightarrow x<-1$$. Аналогично п.1

То есть a∈(−∞;0]∪[35​;+∞)(3) с учетом a∈(−∞;11−46​]∪[11+46​;+∞) и то, что промежуток (3) нас не удовлетворяет (мы должны взять наоборот (0;5/3​) имеем:

Ответ: (−∞;−5−42​]∪(0;+∞).

Задание 19. Вариант 249 Ларина. ЕГЭ 2019 по математике.

Из 26 последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, … , 51 выбрали 11 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть А – шестое по величине среди этих чисел, а В – среднее арифметическое выбранных одиннадцати чисел.

• А) Может ли В‐А равняться 3/11.
• Б) Может ли В‐А равняться 4/11.
• В) Найдите наибольшее возможное значение В‐А.

Решение

а) Если B−A = 3/11, то S=11A+3, где S сумма выбранных 11 чисел. По условию, все числа нечётны, включая A, и S как сумма нечётного числа нечётных слагаемых оказывается нечётна. Отсюда получается противоречие.

б) Приведём пример: 1, 3, 5, … , 17, 19, 25. Сумма равна 125, среднее равно B = 125/11, шестое число равно A=11. Разность B−A равна 4/11.

в) При фиксированном AA максимальное значение суммы предыдущих пяти чисел равно: (A−10)+(A−8)+⋯+(A−2) = 5A−30.

Максимальное суммы пяти последующих равно 43+45+47+49+51=235.

Сумма всех чисел не больше 6A+205, то есть B ≤ 6A/11+205/11.

B−A ≤ 205/11−5A/11≤150/11, поскольку A≥11.

Пример, когда указанное значение достигается, состоит из шести наименьших и пяти наибольших чисел списка.

Ответ: нет, да, 150/11

Видео: Разбор Варианта ЕГЭ Ларина №249 (№1-15)

Видео: Разбор Варианта ЕГЭ Ларина №249 (№16-19)