Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Содержание

Задание №01. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

В доме, где живёт Оля, 9 этажей и несколько подъездов. В каждом подъезде на каждом этаже находится по 3 квартиры. Оля живёт в квартире № 78. В каком подъезде находится квартира Оли?

Решение

На 9-ти этажах каждого подъезда 9*3 = 27 квартир ⇒

78/27 = (2*24)/27 ⇒ Оля живет во 3-м подъезде.

Ответ: 3.

Задание №02

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года.

Задание №02. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с по ноября года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.

Определите по рисунку, сколько дней в этот период выпадало более 3 миллиметров осадков.

Решение

На графике видно —  2 дня в этот период выпадало более 3 миллиметров осадков.

Ответ: 2дня.

Задание №03

Задание №03. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён треугольник. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.

Решение

Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Средняя линия треугольника равна половине той стороны, которой она параллельна. Длина стороны АВ равна 6 ⇒ длина средней линии 3.

Ответ: 3.

Задание №04. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Фабрика выпускает сумки. В среднем 12 сумок из 150 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Решение

Без дефектов выпускают 138 сумок из каждых 150 ⇒ вероятность равна:

138/150 = 0,92.

Ответ: 0,92.

Задание №05

Найдите корень уравнения:

Задание №05. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Решение

Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Ответ: -1.

Задание №06. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Задание №06. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 44, CD = 55.

Решение

В четырехугольник можно вписать окружность при условии:

AB + CD = BC + AD ⇒

PABCD = AB + CD + BC + DA = 2(AB + CD) = 198.

Ответ: 198.

Задание №07

Задание №07. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f (x), определённой на интервале (−1; 10).

Решение

точки экстремумов

Решениями уравнения  f ′(x) = 0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции f (x). Из них на отрезке [4; 8] лежат 2 точки ⇒ на отрезке [4; 8] уравнение f (x) = 0 имеет 2 решения.

Ответ: 2.

Задание №08. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Задание №08. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  известно, что АВ = 3, AD = 6,  AA1 = 8. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, В и С1 .

Решение

Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому сечение ABC1D1 —  параллелограмм. Ребро D1C1 перпендикулярно граням BB1C1C и AA1D1D ⇒ углы AD1C1 и D1C1B — прямые ⇒ сечение ABC1D1 — прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника AA1D1 найдем AD1:

AD1  = √(AD² + (AA1)²) = √(6² + 8²) = 10.

Площадь прямоугольника ABC1D1 равна:

S = AB*AD1 = 3*10 = 30.

Ответ: 30.

Задание №09

Найдите значение выражения:

Задание №09. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Решение

Формула косинуса двойного угла:

Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Ответ: -4.

Задание №10. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Автомобиль массой m кг начинает тормозить и проходит до полной остановки путь S м. Сила трения F (в Н),  масса автомобиля m (в кг), время t (в с) и пройденный путь S (в м) связаны соотношением F = 2mS/t². Определите, сколько секунд заняло торможение, если известно, что сила трения равна 2000 Н, масса автомобиля — 1500 кг, путь — 600 м.

Решение

Преобразуем данную в условии формулу:

F = 2mS/t²,

t = √(2mS/F).

Подставим значения:

t = √(2*1500*600/2000) = 30.

Ответ: 30.

Задание №11. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть скорость второго автомобиля равна υ км/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй ⇒

80 * 2/3 = υ * 2/3 + 14,

2υ = 80*2 — 14*3,

υ = 59.

Ответ: 59.

Задание №12

Найдите точку максимума функции:

y = (x²+81)/x

Решение

Найдем производную заданной функции:

Задание №12. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Ответ: 9.

Задание №13

а) Решите уравнение:

Задание №13. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π/2 ; 2π].

Решение

а) Запишем уравнение в виде системы:

Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Ответ: a) x = 5π/6+2πk, x = π/2+2πm, k, m∈Z, б) π/2, 5π/6.

Задание №14. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.

  • а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру MD.
  • б) Найдите угол между плоскостью α и прямой AC.

Решение

а) Точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α пересекает грань BMC по отрезку KL (точка L лежит на ребре BC), параллельному ребру MC. Ребро CD параллельно ребру AB, а ребро AB параллельно отрезку QK ⇒ плоскость α параллельна плоскости грани CMD ⇒ прямая MD параллельна плоскости α.

б) Пусть длина стороны основания равна a. Вместо плоскости α рассмотрим параллельную ей плоскость CMD. Проведём к ней перпендикуляр OH из центра основания — точки O. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью MOH. Это сечение — прямоугольный равнобедренный треугольник NMG, поскольку по условию грани CMD и AMB перпендикулярны. Отрезок OH параллелен катету MN этого треугольника и равен его половине:

Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Ответ: 30º.

Задание №15

Решите неравенство:

Задание №15. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Решение

Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Ответ: (-∞; 0)∪(1; 2)∪(3; +∞).

Задание №16. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBFG. Точка M — середина стороны AB.

  • А. Докажите, что точка M равноудалена от центров квадратов.
  • Б. Найдите площадь треугольника DMG, если AC = 6, BC = 8, AB = 10.

Решение

Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Ответ: Б. 49.

Задание №17. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

 

Месяц и год

Июль 2019 Июль 2020 Июль 2021 Июль 2022
 

Долг (в млн рублей)

S 0, 6S 0, 25S 0

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

Решение

В январе 2020 года долг будет составлять 1,3S млн рублей, а в июле 2020 года — 0,6S млн рублей ⇒ выплата в 2020 году будет 0,7S млн рублей.

В январе 2021 года долг будет составлять 1,3 · 0,6S = 0,78S млн рублей, а в июле 2021 года — 0,25S млн рублей ⇒ выплата в 2021 году составит 0,53S млн рублей.

В январе 2022 года долг перед банком составит:

1,3*0,25S = 0.325S млн рублей,

в июле — 0 рублей ⇒ выплата в 2022 году составит 0,325S млн рублей.

Составим и решим систему:

Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Наибольшее целое решение системы 7.

Ответ: 7.

Задание №18

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение:

Задание №18. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

имеет ровно два различных корня на промежутке [−1;1).

Решение

Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Ответ: -0,5 =<a<0.5.

Задание №19

Все члены возрастающих арифметических прогрессий a1, a2, … и b1, b2, … являются натуральными числами.

А. Приведите пример таких прогрессий, для которых a1b1 + 2a3b3 = 4a2b2. Б. Существуют ли такие прогрессии, для которых 2a1b1 + a4b4 = 3a2b2?

В. Какое наибольшее значение может принимать произведение a2b2, если 2a1b1 + a4b4 ≤ 210?

Решение

Задание №19. Решение варианта №1 ЕГЭ «СтатГрада» по профильной математике

Ответ:  а)  2, 3, 4,… и 2, 3, 4,…; б) нет; в) 68.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Подготовка к ЕГЭ
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: