Решение варианта №250 ЕГЭ по математике Ларин Александр

Задание 1. Вариант 250 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

В салоне парфюмерии проходит акция: покупая флакон духов объёмом 100 мл, покупатель получает в подарок флакон духов объёмом 30 мл. Какой наибольший объём (в мл) духов можно получить за 7000 рублей во время этой акции, если флакон духов объёмом 100 мл стоит 1800 рублей, объёмом 50 мл – 1200 рублей, а объёмом 30 мл – 800 рублей?

Решение

3 флакона по 100 мл будут стоить:

1800∗3 = 54001800∗3 = 5400 рублей.

В подарок покупатель получит 3 флакона по 30 мл. Итого он приобретет 390 мл духов.

У него при этом остается 1600 руб. На них можно купить или 2 флакона по 30 мл, или один по 50 мл. Первый вариант выгоднее, так как покупатель получит 60 мл духов вместо 50 мл.

Значит, покупатель потратит все 7000 рублей и купит:

390+30+30 = 450390+30+30 = 450 миллилитров духов.

Другие варианты будут заведомо менее невыгодными, так как стоимость 10 мл духов при покупке 100 мл флакона оказывается минимальной и равна 180 рублям.

Ответ 450.

Задание 2. Вариант 250 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха 5°С.

На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Когда температура достигает определённого значения, включается вентилятор, охлаждающий двигатель, и температура начинает понижаться. Определите по графику, сколько минут прошло с момента запуска двигателя до включения вентилятора?

Решение

Цена деления 1 минуты. Видно что охлаждение пошло начиная с 9 минуты. То есть с момента запуска двигателя до включения вентилятора прошло 9 минут.

Ответ: 9.

Задание 3

Площадь большого круга равна 24. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение

Ответ: 15,75.

Задание 4. Вариант 250 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

Решение

Общее количество исходов:

N = 63.

Исходы с выпадением 16 очков:

466;565;556;655;664;646 $$\Rightarrow$$ 6 исходов .

Вероятность:

P = 6/6³ ​= 1/6² = 1/36 ​≈ 0,03.

Ответ: 0,03.

Задание 5

Найдите корень уравнения:

Решение

x = 0.

Ответ: 0.

Задание 6

В треугольнике АВС угол А равен 30, а угол С равен 105. Найдите АС, если ВС= 2√3 .

Решение

∡B = 180−105−30 = 45.​

По обобщённой теореме синусов:

​BC/sin30 = AC/sin45.​

​AC = (BC*sin45)/sin30 = (3√2∗2√2)/2 = 6.

Ответ: 6.

Задание 7

На графике функции у = f (x) отмечены семь точек с абсциссами ‐7, ‐5, ‐3, ‐2, 1, 2, 5.

Определите по данному графику, в какой из этих точек значение производной f / (x) наибольшее. (В ответе укажите абсциссу этой точки).

Решение

На рисунке видно, что наклон рост функции в точке x = 5x = 5 наибольший среди всех других точек из условия задачи (так как угол наклона наибольший, а значит и тангенс угла наклона касательной, то есть производная функции принимает наибольшие значения).

Поэтому в точке с абсциссой 5 значение производной функции является наибольшим.

Ответ: 5.

Задание 8. Вариант 250 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

В правильной шестиугольной пирамиде PАВСDEF сторона основания равна 2, а боковое ребро равно √6 . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью РАС.

Решение

Треугольник РАС — равнобедренный. Основание пирамиды — правильный шестиугольник, его углы равны 120 градусам. Такой шестиугольник состоит из 6 правильных треугольников.

Площадь равна:

S = 1/2(PH∗AC).

Из треугольников АВН и АВС:

AC = 2AH = 2∗ABsin60º = 2√3 .

Из прямоугольного треугольника PHO (угол POH — прямой) по теореме Пифагора:

PH = √(HO²+PO²).

Из прямоугольного треугольника POB:

PO² =PB² − OB² = PB² − AB² = 6−4 = 2.

Из правильного треугольника AOB:

HO = 0.5∗OB = 0.5∗AB = 1 (AOCB — ромб, а AC — его диагональ, которая делит пополам диагональ OB).

Тогда:  PH = √(HO²+PO²) = 3.

Площадь равна:  S = ½PH∗AC = 0.5∗√3∗2*√3 = 3.

Ответ: 3.

Задание 9. Вариант 250 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Найдите значение выражения:

Решение

Ответ: 150.

Задание 10. Вариант 250 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

При вращении ведёрка с водой на верёвке в вертикальной плоскости вода не выливается из него, если сила её давления на дно ведёрка неотрицательна во всех точках траектории. В верхней точке траектории сила давления воды на дно минимальна и равна:

Р = m∗(v²/L​−g),

где m – масса воды в кг, v – скорость движения ведёрка в м/с, L – длина веревки в метрах, g = 10 м/с² – ускорение свободного падения. С какой минимальной скоростью v надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась из него, если длина веревки равна 57,6 см? Ответ дайте в м/с.

Решение

Раз вода не выливается , значит $$P\ge 0$$. При $$v\to max;P\to 0$$, следовательно:

0 = m∗(v²/L​−g) ⇔ v²/L​−g = 0.

Расстояние в формуле дается в метрах, потому: L=57,6 см =0,576м.

v²/0,576 ​−10 = 0 ⇔ $$v²=5,76\iff v=2,4$$м\с.

Ответ: 2,4.

Задание 11. Вариант 250 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение

Пусть x- количество вопросов в тесте. Тогда:

время Пети:

t2 ​= x/8​;

Вани:

t2 ​= x/9​.

При этом t1​ − t2 ​= 20 минут = 1/3 часа.

Ответ: 24.

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции:

$$f(x)=x³-3x²-9x+3\mathrm{1,}$$

на отрезке [-1;4].

Решение

Ответ: 4.

Задание 13

а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [4π; 9π/2).

Решение

Ответ:

Задание 14

Правильная треугольная призма АВСА1В1С1 пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, А1С1, ВВ1. Сторона основания призмы равна 2, а высота призмы равна 7√/7.

• А) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы.
• Б) Найдите площадь сечения.

Решение

Ответ: А) 30º, Б)13/12.​

Задание 15

Решите неравенство:

Решение

ОДЗ: x > 0

Ответ:

Задание 16

В окружности с центром в точке О радиуса 4 проведены хорда АВ и диаметр АК, образующий с хордой угол π/8. В точке В проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра АК в точке С.

• А) Докажите, что треугольник ОВС – равнобедренный.
• Б) Найдите длину медианы АМ треугольника АВС.

Решение

Ответ: 2√(3 + √6).​​

Задание 17

Производительность первого цеха завода не более 730 произведённых телевизоров в сутки. Производительность второго цеха завода до реконструкции составляла 75% от производительности первого цеха. После реконструкции второй цех увеличил производительность на 20% и стал выпускать более 640 телевизоров в сутки. Найдите, сколько телевизоров в сутки выпускает второй цех после реконструкции, если оба цеха выпускают в сутки целое число телевизоров.

Решение

Пусть x — число телевизоров в сутки 1-го цеха $$x\le 730$$ . Тогда 0,75x — второй цех до реконструкции.

После реконструкции: $$0,75\ast 1,2=0,9x$$. При этом $$0,9x>640.$$

Ответ: 648.

Задание 18. Вариант 250 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Найдите все значения параметра a при которых уравнение:

имеет ровно четыре корня.

Решение

$$x=1$$  –точка минимума. При x=1: f(1) = 1/2 ​+ 1 = 1,5.

• Видим что при  t< 1,5 одно решение,
• при t = 1,5 — два решения ,
• при t>1,5 – три решения.

Построим график:

Каждое пересечение при t<1,5 , дает одно решение, при t>1,5 даёт три решения. Всегда 1 (при t<0) , то нас не устраивает.

При t = 1,5 будет 2 решения, да еще одно ( область t < 0) — следовательно, в общем получим 3.

Ответ:

Задание 19. Вариант 250 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

• а) Приведите пример такого натурального числа n , что числа и n² и  (n+24)² дают одинаковый остаток при делении на 100.
• б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а) свойством?
• в) Сколько существует двузначных чисел m , для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n , таких то n² b (n+m)² дают одинаковый остаток при делении на 100.

Решение

Ответ: 13, 36, 36.

Видео: Разбор Варианта ЕГЭ Ларина №250 (№1-15)

Видео: Разбор Варианта ЕГЭ Ларина №250 (№16-19)