Условие
В треугольнике ABC, в котором ∠A=30° ,∠B=105°, проведена медиана CM. Найдите ∠MCA . Ответ дайте в градусах.
Решение
Проведем высоту BH, и соединим MH.
∡С = 180−∡A−∡B = 45°.
Обозначим BH = HC = a , так как треугольник BHC — прямоугольный и равнобедренный.
AB = 2a — так как a — катет, лежащий против угла в 30 градусов.
MH = a — как медиана в прямоугольном равнобедренном треугольнике.
Получаем, что треугольник AMH — равнобедренный, значит ∡M = 120°, (∡A = ∡MHA = 30°).
△MHC — равнобедренный, так как MH = HC = a.
∡MHC = 180°−30° = 150°, значит ∡HMC = ∡MCA = 180°−150°2 = 15°.
Ответ: 15°.