Задание №14. Решение варианта №283 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

Условие

В правильной пирамиде SABC точки M и N – середины ребер АВ и ВС соответственно.

На боковом ребре SA отмечена точка К, SK:KA=1:3. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q.а) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды.б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно,

что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.

Решение

сечение пирамиды плоскостью BSH

а) Отрезок MN является средней линией треугольника ABC, следовательно, MN || AC. Таким образом, сечение пересекает грань SAC по прямой, также параллельной AC. Пусть L — точка пересечения сечения с ребром SC, тогда KL || AC, а сечение KLMN — равнобедренная трапеция.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью BSH, где H — середина стороны AC. Пусть R и T — середины оснований MN и KL трапеции соответственно. Тогда высота трапеции RT проходит через точку Q пересечения диагоналей трапеции, причём так как MN = 1/2*AC, а KL = 1/4*FC из подобия треугольников KLQ и MNQ, получаем TQ/QR = KL/MN = 1/2.

Отрезок TR и высота пирамиды SO лежат в плоскости BSH. Пусть они пересекаются в точке Q’. Докажем, что она совпадает с точкой Q. В сечении BSH проведём отрезок TW параллельно BH, где W — точка на высоте пирамиды. Треугольники TQ’W и RQ’O подобны. При этом:

Задание №14. Решение варианта №283 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

Ответ: ​Задание №14. Решение варианта №283 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Подготовка к ЕГЭ
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: