Задание №16. Решение варианта №286 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

Планиметрия(сложный уровень) Прямоугольный треугольник

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB, BC > AC. На катете BC взята точка K такая, что ∠MKC = ∠BAC
  • а) Докажите, что угол KMC прямой.
  • б) Пусть N – вторая (помимо M) точка пересечения прямой CM и описанной окружности треугольника BMK. Найдите угол ANB.

Решение

Задание №16. Решение варианта №286 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

а) В прямоугольном треугольнике AM = BM = CM,  поэтому ∠MAC = ∠MCA.

 Обозначим этот угол α Тогда и ∠MKC = α. Следовательно:

∠KMC = 180º — ∠MKC — ∠KCM = 90º.

б) Сразу заметим, что четырехугольник BKMN. Следовательно:

∠ACN = α = ∠CKM = 180º — ∠BKM = ∠BNM = ∠BNC.

Следовательно: прямая BN параллельна прямой AC.

∠NBA = ∠BAC = α, треугольник BMN равнобедренный: BM = MN.

Значит, BNAC — параллелограмм (его диагонали делятся пополам точкой пересечения), поэтому:

∠BNA = ∠BCA = 90º.

Ответ:  90°.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Подготовка к ЕГЭ
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: