Теория чисел
Условие
В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 г., второй – по 200 г., третий – по 300 г., а четвертый – по 400 г.
- А) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
- Б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили различное количество корма?
- В) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Решение
- а) Может. Например, первому кролику дали по порции первый и четвёртый ученики, 100 + 400 = 500 г, а остальным выдали по порции второй и третий ученики, 200 + 300 = 500 г. В результате все 15 кроликов получили поровну — по 500 г корма.
- б) Количества корма, полученное кроликами, отличаются самое меньшее на 100 г. Максимальное количество корма, которое может получить кролик 100 + 200 + 300 + 400 = 1000 г. Если первому кролику ничего не дали, а остальные получили десять возможных выдач от 100 до 1000 г, то получается, что выдать корм без совпадений выдач можно самое большее 11 кроликам, но не 15.
- в) Если корм был выдан 11 кроликам, то общее его количество равно сумме арифметической прогрессии 0 + 100 + 200 + … + 1000 = 5500 г. По условию общее количество, выданного корма равно 4(100 + 200 + 300 + 400) = 4000 г. То есть из 11 кроликов исключаются по крайней мере 2, сумма выдач которым равна 5500 — 4000 = 1500 г.
Один из возможных вариантов:
1) 0
2) 100
3) 200
4) 300
5) 400
6) 500 = 100 + 400
7) 600 = 100 + 200 + 300
900 = 200 + 300 + 400
9) 1000 = 100 + 200 + 300 + 400
Ответ: 9 кроликов.