Теория чисел
Условие
- а) Приведите пример 5 различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно 105.
- б) Можно ли расставить по кругу 8 различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось 300, а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся 1?
- в) Какое наибольшее количество чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно 60?
Решение
- а). Можно, пример: 3, 105, 5, 21, 35.
- б). Нельзя. Так как НОД трёх любых последовательно идущих чисел равен 1, следовательно числа взаимно простые, и у них нет общих делителей, кроме 1. Но тогда их НОК есть произведение этих чисел. А раз мы можем взять любые три числа (подряд идущие), то у всех чисел НОД должен быть 1. Однако все числа различны, и при этом взаимно просты и имеют в своём составе как минимум цифры 2, 3 и 5, и при этом любое из них меньше или равно 300 (т.к. НОК = 300). По основной теореме арифметики 300 = 2²*5²*5. Пусть мы можем так расставить данные числа, но тогда хотя бы двое из них имеют хотя бы два общих множителя, то есть они не взаимно просты — противоречие.
- в) 8. Сам ряд: 6, 10, 60, 3, 20, 30, 12, 15. 8 чисел.
Ответ:
- а) 3, 35, 15, 7, 105.
- б) Нет.
- в) 8.