Решение варианта №288 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

За десять минут по дороге мимо инспектора ДПС Кулебякина проезжают 50 автомобилей такси, из них 30 желтых и 20 белых. Среди этих машин 15 автомобилей «Хюндай», 15 – «Фольксваген Поло», 10 – «Рено» и 10 – «Мерседес». Считая, что цвет машины не зависит от ее марки, найдите, какова вероятность того, что случайным образом остановленным Кулебякиным такси будет желтый «Рено».

Решение

Перемножаем вероятности, так как по условию события независимые:

​P = 10/50∗30/50 = 0,12​

Решите уравнение:

log2​(x²−7) = logx+4​(x+4).

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение

ОДЗ
х² — 7 > 0 => х > √7 или х < -√7;
х + 4 > 0 => х > -4;
х + 4 ≠ 1 => х ≠ -3;
(-4; -3) (-3; -√7) (√7; +∞).

log2(x² — 7) = 1;
log2(x² — 7) = log2 2;
x² — 7 = 2;
x² = 9;
x = ±3.

-3 не входит в ОДЗ.

Ответ: 3.

На рисунке изображен график неравномерного прямолинейного движения тела и касательная к этому графику в точке с абсциссой t0 . По оси абсцисс откладывается время в секундах, по оси ординат – расстояние в метрах. Найдите мгновенную скорость этого тела в момент времени t0. Ответ дайте в м/с.

Решение

Мгновенная скорость тела в момент времени t0 — это производная координаты в момент времени t0 по времени, т.е нам нужно найти угловой коэффициент касательной  ​tga:​

​tga = 5/8 = 0,625.

Ответ: 0,625.

Задание №08. Решение варианта №288 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

Стереометрия(лёгкий уровень) Пирамида

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30º. Высота пирамиды равна 8. Найдите объем пирамиды.

Решение

Из прямоугольного треугольника SAH:

AH = 8/tg30 = 24/√3.​

Так как SAB — р/б, то:

​AB = 2AH = 48/√3.​

​AD = 8/tg30 = 24√​3 — из прямоугольного треугольника ​SHM​, так как ​HM = AD.​

​V = 1/3∗24/√3∗48/√3∗8 = 1024.

Ответ: 1024.

Задание №09

Числовые выражения Степени

Найдите значение выражения:

Решение

Ответ: 6.

Задание №10

Практические задачи Работа с формулами

Решение

Не забываем переводить тонны в кг.

​n=(1000∗28∗19)/(50∗380∗20) = 0,49 тонн = 49 кг

Ответ: 49 кг.

Задание №11. Решение варианта №288 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

Текстовые задачи(средний уровень) Задачи на движение

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 36 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 12 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 27 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Так как через 12 минут мотоциклист догнал велосипедиста в первый раз, то его скорость в 4 раза больше, чем у велосипедиста.

Если ​x​ км/ч — скорость велосипедиста, то ​4x​ — скорость мотоциклиста.

Скорость их сближения ​3x.​

Во второй раз, мотоциклист проезжает целый круг, чтобы догнать велосипедиста, значит:

​Vсбл = 27/t​, где ​t = 36/60​ переводим минуты в часы.

​Vсбл = 45​ км/ч.

​3x = 45.​

​x = 15​ км/ч.

Скорость мотоциклиста ​60​ км/ч

Ответ: 60.

Задание №12. Решение варианта №288 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

Исследование функции

Найдите наибольшее значение функции:

Решение

Подставив в исходное уравнение вместо х² 4/13 = мы получаем у = 2.

Ответ: 2.

Задание №13

Тригонометрические уравнения Отбор корней

а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку:

Решение

решение а)

Решение б)

видео решение:

Ответ:

Задание №14

Стереометрия(средний уровень) Параллелепипед

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М – середина стороны ВС.

• а) Докажите, что прямая А1С параллельна плоскости, проходящей через точки А, М и В1.
• б) Найдите расстояние от прямой А1С до плоскости АМВ1, если параллелепипед прямоугольный и АВ=5, AD=4, AA1=2.

Решение

Ответ: (5√6)/9.

Задание №15

Неравенства(вторая часть) Показательные неравенства

Решите неравенство:

Решение

Ответ: (−∞;0),(0;1),[log3​10;∞).

Задание №16. Решение варианта №288 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

Планиметрия(сложный уровень) Треугольник

В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 40º, отрезки ВВ1 и СС1 – высоты, точки В2 и С2 – середины сторон АС и АВ соответственно. Прямые В1С2 и С1В2 пересекаются в точке К.

• а) Докажите, что точки В1, В2, С1 и С2 лежат на одной окружности
• б) Найдите угол В1КВ2

Решение

Ответ: б) 60º.

Задание №17. Решение варианта №288 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

Экономические задачи

19 января планируется взять в кредит некоторую сумму на 16 месяцев. Условия кредита таковы:

• ‐ 1 числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца.
• ‐ со 2 по 18 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга.
• ‐ 19‐го числа каждого месяца с 1‐й по 15‐й месяц долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 19‐е число предыдущего месяца.
• ‐ к 19‐му числу 16‐го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 19‐го числа 15‐го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 914 тыс. рублей?

Решение

Пусть долг 19‐го числа 15‐го месяца будет равен S тыс. рублей. Тогда, сумма кредита больше S на 30*15 = 450 тыс. рублей. В соответствии с условием задачи заполним таблицу:

	Долг на 1-е число, тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг на 19-е число, тыс. руб.
			S + 450
1-й месяц	1.1*(S + 450)	0.1S + 75	S + 420
2-й месяц	1.1*(S + 420)	0.1S + 72	S + 390
14-й месяц	1.1*(S + 60)	0.1S + 36	S + 20
15-й месяц	1.1*(S + 30)	0.1S + 33	S
16-й месяц	1.1S	1.1S	0

Сумма выплат (в тыс. руб.) равна^

0.1S + 75 + 0.1S + 72 … +0.1S + 36 + 0.1S + 33 + 1.1S =

15*0.1S + ((75 + 33)/2)*15 + 1.1S = 2.6S + 810.

Откуда:

2.6S + 810 = 914 ⇔ 2.65S = 104 ⇔ S = 40.

Ответ: 40 тыс. руб.

Задание №18

Задачи с параметром

Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений:

имеет хотя бы одно решение.

Решение

Графиком первого уравнения исходной системы является семейство парабол (при а = 0 вырождающихся в прямую) с вершиной в точке (0; 3). Преобразуем второе уравнение системы:

Графиком второго уравнения исходной системы является левая полуокружность окружности с центром в точке (-5; 4) и радиусом r = 2. Данная система либо имеет одно решение (когда полуокружность имеет с графиком первого уравнения общую точку), либо не имеет решений. Найдём значения параметра a, при которых парабола проходит через граничные точки полуокружности:

точка: (-5; 2): 2 = 25a + 3 ⇔ a = — 1/25

точка: (-5; 6): 6 = 25ф + 3 ⇔ ф = 3/25

Следовательно:

• a < -1/25 система не имеет решений;
• -1/25 ≤ a ≤ 3/25  система имеет одно решение;
• a > 3/25 система не имеет решений.

Ответ: [−1/25​; 3/25​].