Решение. Тренировочная работа 1 (профиль) по математике Статград 20.09.2018

Проведем дополнительные построения, как показано на рисунке.

Найдём длину диагонали по теореме Пифагора:

BD = √(36+64) = 10.

Ответ: 10.

Задание 4. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 75,99 до 76,01 мм с вероятностью 0,983.

Поэтому искомая вероятность противоположного события равна^

1 − 0,983 = 0,017.

Ответ: 0,017.

Задание 5. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Найдите корень уравнения:

1/(12x — 11) = 1/4

Решение

Последовательно получаем:

1/(12x — 11) = 1/4 ⇔ 12x — 11 = 4 ⇔ 12x = 15 ⇔ x = 1.25.

Ответ: 1,25.

Задание 6

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 44. Найдите высоту этого треугольника.

Решение

Ответ: 132.

Задание 7. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

На рисунке изображён график функции y = f(X), определённой на интервале (-3;10). Найдите количество точек, в которых производная функции f(X) равна 0.

Решение

Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов:

−2; −1; 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8 и 9,6.

Производная равна 0 в 10 точках.

Ответ: 10.

Задание 8

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту и выражается через сторону основания а и высоту Н формулой:

V = (√3a²/4)*H.

Поэтому: H = 4V/(√3a²/4),

значит, при увеличении стороны а в 2 раза знаменатель увеличится в 4 раза, то есть высота уменьшится в 4 раза и будет равна 4 см.

Ответ: 4.

Задание 9. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Найдите значение выражения:

(√48 — √3 )* √12.

Решение

√48 = √(3*16) = √3√16 = 4√3

√12 = √(4*3) = √4*√3 = 2√3.

Следовательно:

(√48 — √3)*√12 = (4√3 — √3)*2√3 = 3√3*2√3 = 18

Ответ: 18.

Задание 10

При нормальном падении света с длиной волны λ=650 нм на дифракционную решётку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол ф (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением dsinф=kλ. Под каким минимальным углом ф (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решётке с периодом, не превосходящим 1950 нм?

Решение

Задача сводится к решению неравенства d ≤1950 нм на интервале φ ∈ (0º, 90º),

при заданных значениях длины волны света:

λ = 650 нм и номера максимума k = 3:

Ответ: 90.

Задание 11

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 182 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью, на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть υ км/ч — скорость первого теплохода, тогда скорость второго теплохода по течению равна υ + 1 км/ч.

Первый теплоход находился в пути на 1 час больше, чем второй, отсюда имеем:

Таким образом, скорость второго теплохода равна 14 км/ч.

Ответ: 14.

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции:

на отрезке [-27;-25].

Решение

Найдем производную заданной функции:

Наименьшим значением функции на отрезке [−27; −25] является 

Ответ: 0.

Задание 13

a)Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: [-7π/2;-5π/2]

Решение

Ответ:

Задание 14. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость а , параллельная ребру MC.

• а) Докажите, что сечение плоскостью а пирамиды MABC является параллелограммом.
• б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью а.

Решение

• а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α пересекает плоскость BMC по отрезку KL. Так как плоскость α параллельна ребру MC, то KL || MC, следовательно, KL — средняя линия треугольника AMC, а L — середина ВС. Плоскость α проходит через QK — среднюю линию треугольника MAB, и, следовательно, параллельна AB. Таким образом, пересекает плоскость основания по прямой параллельной AB — средней линии треугольника АВС и проходит через точку O — середину отрезка AC. Значит, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны QK и LO параллельны отрезку AB и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

• б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому OF = ½MG.

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому:

Ответ: 9√3/2.

Задание 15

Решите неравенство:

Решение

Решим неравенство методом интервалов:

откуда:

x ≤ -5, x = 0 и 3 < x ≤ 6.

Ответ: (-∞; — 5]; {0}; (3; 6].

Задание 16

Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке D, прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.

• а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
• б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 5.

Решение

а) Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку C, пересекает общую касательную AB в точке M. Тогда MA = MC = MB, то есть медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB.

Значит, ∠ACB = 90º.

Тогда  ∠ACE = 90º, поэтому AE — диаметр меньшей окружности. Следовательно, прямая AE перпендикулярна прямой AB.

Аналогично докажем, что прямая BD перпендикулярна прямой AB. Прямые AE и BD перпендикулярны одной и той же прямой AB, значит, они параллельны.

б) Пусть радиусы окружностей равны r и R, где r < R. Опустим перпендикуляр OH из центра O меньшей окружности на диаметр BD большей. Тогда:

OH² = (R + r)² — (R — r)² = 4rR.

Опустим перпендикуляр EF из точки E на BD. Тогда:

Ответ: (8√19)/19.

Задание 17

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект.

Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 15 млн рублей в первый и второй годы, а также по 10 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 110 млн, а к концу проекта — больше 190 млн рублей.

Решение

Пусть S млн — первоначальные вложения. К началу 2-го года получится 1,2S + 15 млн, а к началу 3-го года:

1,2(1.2S + 15) + 15 = 1.44S + 33.

По условию^

1.44S + 33 > 110,  откуда:

S > 77/1.44 = 53.4

К началу 4-го года имеем:

1.2(1.44S + 33) + 10, а в конце проекта:

1.2(1.2(1.44S + 33) + 10) + 10 = 2,0736S + 47.52 + 22 = 2,0736S + 69,52

По условию:

2.0736S + 69.52 >190,  откуда S > 120.48/2.0736 = 58.1

А значит, минимальное возможное целое значение: S = 59.

Ответ: 59 млн. рублей.

Решение

Ответ: -1/8; (0; 6].

Задание 19

Пусть K (n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.

• а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K (n) =171?
• б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K (n)) =172?
• в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n)-n , если n — трёхзначное число?

Решение

а) Такое число существует. Например, для числа n = 399 имеем 3² + 9² + 9² = 171.

б) Заметим, что для любого целого числа k число k² либо делится на 4, если k чётно, либо даёт при делении на 4 остаток 1, если k нечётно. Значит, сумма квадратов всех цифр произвольного трёхзначного числа n может делиться на 4, только если квадрат каждой из его цифр делится на 4, то есть когда все его цифры чётны.

Следовательно, если K(n) = 172 = 4*43 то все цифры числа n чётны и либо:

K(n) = 8² + 8² + 8² = 192, либо K(n) = 8² + 8² + 6² = 164. Значит, искомого числа n не существует.

Ответ: а) Да; б) нет; в) −582.

Видео решение задания с 1 по 15 (Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018)

Видео решение задания с 16 по 19 (Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018)