Решение. Тренировочная работа 1 (профиль) по математике Статград 20.09.2018

Содержание

Задание 1. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

На бензоколонке один литр бензина стоит 35 руб. 60 коп. Водитель залил в бак 30 литров бензина и взял бутылку воды за 35 рублей. Сколько рублей сдачи он получит с 1500 рублей?

Решение

Бензин и вода стоят:
30*35,6 + 35 = 1103.
Сдача с 1500 рублей:
1500 — 1103 = 397

Ответ: 397.

Задание 2

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 8 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Задание 2. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Решение

Из графика видно, что наибольшая температура воздуха 8 августа составила 33 градуса Цельсия.

Ответ: 33.

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1*1 изображён параллелограмм. Найдите длину его меньшей диагонали.

Решение

Задание 3. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Проведем дополнительные построения, как показано на рисунке.

Найдём длину диагонали по теореме Пифагора:

BD = √(36+64) = 10.

Ответ: 10.

Задание 4. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

При изготовлении подшипников диаметром 76 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,983. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 75,99 мм или больше чем 76,01 мм.

Решение

По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 75,99 до 76,01 мм с вероятностью 0,983.

Поэтому искомая вероятность противоположного события равна^

1 − 0,983 = 0,017.

Ответ: 0,017.

Задание 5. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Найдите корень уравнения:

1/(12x — 11) = 1/4

Решение

Последовательно получаем:

1/(12x — 11) = 1/4 ⇔ 12x — 11 = 4 ⇔ 12x = 15 ⇔ x = 1.25.

Ответ: 1,25.

Задание 6

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 44. Найдите высоту этого треугольника.

Решение. Тренировочная работа 1 (профиль) по математике Статград 20.09.2018

Решение

Задание 6. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Ответ: 132.

Задание 7. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

На рисунке изображён график функции y = f(X), определённой на интервале (-3;10). Найдите количество точек, в которых производная функции f(X) равна 0.

Задание 7. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Решение

Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов:

−2; −1; 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8 и 9,6.

Производная равна 0 в 10 точках.

Ответ: 10.

Задание 8

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Задание 8. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Решение

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту и выражается через сторону основания а и высоту Н формулой:

V = (√3a²/4)*H.

Поэтому: H = 4V/(√3a²/4),

значит, при увеличении стороны а в 2 раза знаменатель увеличится в 4 раза, то есть высота уменьшится в 4 раза и будет равна 4 см.

Ответ: 4.

Задание 9. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Найдите значение выражения:

(√48 — √3 )* √12.

Решение

√48 = √(3*16) = √3√16 = 4√3

√12 = √(4*3) = √4*√3 = 2√3.

Следовательно:

(√48 — √3)*√12 = (4√3 — √3)*2√3 = 3√3*2√3 = 18

Ответ: 18.

Задание 10

При нормальном падении света с длиной волны λ=650 нм на дифракционную решётку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол ф (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением dsinф=kλ. Под каким минимальным углом ф (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решётке с периодом, не превосходящим 1950 нм?

Решение

Задача сводится к решению неравенства d ≤1950 нм на интервале φ ∈ (0º, 90º),

при заданных значениях длины волны света:

λ = 650 нм и номера максимума k = 3:

Задание 10. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Ответ: 90.

Задание 11

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 182 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью, на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть υ км/ч — скорость первого теплохода, тогда скорость второго теплохода по течению равна υ + 1 км/ч.
Первый теплоход находился в пути на 1 час больше, чем второй, отсюда имеем:
Задание 11. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018
Таким образом, скорость второго теплохода равна 14 км/ч.

Ответ: 14.

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции:

Задание 12. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018на отрезке [-27;-25].

Решение

Найдем производную заданной функции:

Решение. Тренировочная работа 1 (профиль) по математике Статград 20.09.2018

Наименьшим значением функции на отрезке [−27; −25] является y( минус 26)=0 умножить на e в степени 0 =0.

Ответ: 0.

Задание 13

a)Решите уравнение:

Задание 13. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: [-7π/2;-5π/2]

Решение

график к заданию 13

Решение. Тренировочная работа 1 (профиль) по математике Статград 20.09.2018

Решение. Тренировочная работа 1 (профиль) по математике Статград 20.09.2018

Ответ: Решение. Тренировочная работа 1 (профиль) по математике Статград 20.09.2018

Задание 14. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость а , параллельная ребру MC.

  • а) Докажите, что сечение плоскостью а пирамиды MABC является параллелограммом.
  • б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью а.

Решение

  • а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α пересекает плоскость BMC по отрезку KL. Так как плоскость α параллельна ребру MC, то KL || MC, следовательно, KL — средняя линия треугольника AMC, а L — середина ВС. Плоскость α проходит через QK — среднюю линию треугольника MAB, и, следовательно, параллельна AB. Таким образом, пересекает плоскость основания по прямой параллельной AB — средней линии треугольника АВС и проходит через точку O — середину отрезка AC. Значит, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны QK и LO параллельны отрезку AB и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

Задание 14. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике. Статград 20.09.2018

  • б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому OF = ½MG.

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому:

Решение. Тренировочная работа 1 (профиль) по математике Статград 20.09.2018

Ответ: 9√3/2.

Задание 15

Решите неравенство:

Решение. Тренировочная работа 1 (профиль) по математике Статград 20.09.2018

Решение

Решим неравенство методом интервалов:

Задание 15. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

откуда:

x ≤ -5, x = 0 и 3 < x ≤ 6.

Ответ: (-∞; — 5]; {0}; (3; 6].

Задание 16

Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке D, прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.

  • а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
  • б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 5.

Решение

а) Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку C, пересекает общую касательную AB в точке M. Тогда MA = MC = MB, то есть медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB.

Значит, ∠ACB = 90º.

Тогда  ∠ACE = 90º, поэтому AE — диаметр меньшей окружности. Следовательно, прямая AE перпендикулярна прямой AB.

Аналогично докажем, что прямая BD перпендикулярна прямой AB. Прямые AE и BD перпендикулярны одной и той же прямой AB, значит, они параллельны.

Задание 16. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

б) Пусть радиусы окружностей равны r и R, где r < R. Опустим перпендикуляр OH из центра O меньшей окружности на диаметр BD большей. Тогда:

OH² = (R + r)² — (R — r)² = 4rR.

Опустим перпендикуляр EF из точки E на BD. Тогда:

Решение. Тренировочная работа 1 (профиль) по математике Статград 20.09.2018

Ответ: (8√19)/19.

Задание 17

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект.

Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 15 млн рублей в первый и второй годы, а также по 10 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 110 млн, а к концу проекта — больше 190 млн рублей.

Решение

Пусть S млн — первоначальные вложения. К началу 2-го года получится 1,2S + 15 млн, а к началу 3-го года:

1,2(1.2S + 15) + 15 = 1.44S + 33.

По условию^

1.44S + 33 > 110,  откуда:

S > 77/1.44 = 53.4

К началу 4-го года имеем:

1.2(1.44S + 33) + 10, а в конце проекта:

1.2(1.2(1.44S + 33) + 10) + 10 = 2,0736S + 47.52 + 22 = 2,0736S + 69,52

По условию:

2.0736S + 69.52 >190,  откуда S > 120.48/2.0736 = 58.1

А значит, минимальное возможное целое значение: S = 59.

Ответ: 59 млн. рублей.

Задание 18

Найдите все значения a, при которых уравнение:

(x² + 2x + 2a)² = 5x4 + 5(x + a)²

имеет единственное решение на отрезке [0; 2].

Решение

Задание 18. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Ответ: -1/8; (0; 6].

Задание 19

Пусть K (n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.

  • а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K (n) =171?
  • б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K (n)) =172?
  • в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n)-n , если n — трёхзначное число?

Решение

а) Такое число существует. Например, для числа n = 399 имеем 3² + 9² + 9² = 171.

б) Заметим, что для любого целого числа k число k2 либо делится на 4, если k чётно, либо даёт при делении на 4 остаток 1, если k нечётно. Значит, сумма квадратов всех цифр произвольного трёхзначного числа n может делиться на 4, только если квадрат каждой из его цифр делится на 4, то есть когда все его цифры чётны.

Следовательно, если K(n) = 172 = 4*43 то все цифры числа n чётны и либо:

K(n) = 82 + 82 + 82 = 192, либо K(n) = 82 + 82 + 62 = 164. Значит, искомого числа n не существует.

Задание 19. Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018

Ответ: а) Да; б) нет; в) −582.

Видео решение задания с 1 по 15 (Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018)

Видео решение задания с 16 по 19 (Тренировочная работа 1 (профиль)по математике Статград 20.09.2018)

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Подготовка к ЕГЭ
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: