Задание №12. Решение варианта Уровневая стартовая работа по математике 10 класс 01.10.2019 ЕГЭ

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность большее основание трапеции равно 36,сумма двух углов равна 240.

Найдите радиус вписанной окружности.

Решение

zadanie-12-reshenie-varianta-urovnevaya-startovaya-rabota-po-matematike-10-klass-01-10-2019-ege-3

АД = 36 см.

∠В + ∠С = 240º.

Сумма ∠A и ∠В равна 180 градусов, поэтому не может быть равной 240 градусов.

Так же ∠А + ∠С неравен 240º.

∠В = ∠С = 120º, так как АВСД равнобедренная трапеция.

∠А = 180º-120º = 60º. так как ∠А и ∠В односторонние образованные ВС || АД и АВ.

Рассмотрим треугольник АНБ прямоугольный ∠А = 60º и ∠АБН = 30º.

Тогда АН = 1/2АВ или АВ = 2АН по свойству катета против угла в 30º.

Пусть АН = х см.

Тогда АВ = 2х см. так как окружность вписана в четырёхугольник то АВ + СД = ВС+ АД.

2х + 2х = ВС + х + НМ + х

4х = 2НМ + 2х

х = НМ, так как ВС = НМ

Значит АД = 3х

3х = 36

х = 12

В Δ АНВ АН = 12, АВ = 24.

По теореме Пифагора:

ВН² = АВ² — АН²

ВН = √(24² -12²) = √((24 -12)(24 +12)) = √(12*36) = √(4*3*6) = 12√3 см.

r = 1/2ВН

r = (12√3)/2 = 6√3 см.