Условие
В правильной пирамиде SABC точки M и N – середины ребер АВ и ВС соответственно.
что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.
Решение
а) Отрезок MN является средней линией треугольника ABC, следовательно, MN || AC. Таким образом, сечение пересекает грань SAC по прямой, также параллельной AC. Пусть L — точка пересечения сечения с ребром SC, тогда KL || AC, а сечение KLMN — равнобедренная трапеция.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью BSH, где H — середина стороны AC. Пусть R и T — середины оснований MN и KL трапеции соответственно. Тогда высота трапеции RT проходит через точку Q пересечения диагоналей трапеции, причём так как MN = 1/2*AC, а KL = 1/4*FC из подобия треугольников KLQ и MNQ, получаем TQ/QR = KL/MN = 1/2.
Отрезок TR и высота пирамиды SO лежат в плоскости BSH. Пусть они пересекаются в точке Q’. Докажем, что она совпадает с точкой Q. В сечении BSH проведём отрезок TW параллельно BH, где W — точка на высоте пирамиды. Треугольники TQ’W и RQ’O подобны. При этом:
Ответ:
