Планиметрия(сложный уровень) Прямоугольный треугольник
Условие
- а) Докажите, что угол KMC прямой.
- б) Пусть N – вторая (помимо M) точка пересечения прямой CM и описанной окружности треугольника BMK. Найдите угол ANB.
Решение
а) В прямоугольном треугольнике AM = BM = CM, поэтому ∠MAC = ∠MCA.
Обозначим этот угол α Тогда и ∠MKC = α. Следовательно:
∠KMC = 180º — ∠MKC — ∠KCM = 90º.
б) Сразу заметим, что четырехугольник BKMN. Следовательно:
∠ACN = α = ∠CKM = 180º — ∠BKM = ∠BNM = ∠BNC.
Следовательно: прямая BN параллельна прямой AC.
∠NBA = ∠BAC = α, треугольник BMN равнобедренный: BM = MN.
Значит, BNAC — параллелограмм (его диагонали делятся пополам точкой пересечения), поэтому:
∠BNA = ∠BCA = 90º.
Ответ: 90°.