На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K и L, причём AM : MB = CK : KD = ½, а BN : NC = DL : LA = 1/3.
Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого – пересечения отрезков AN, BK, CL и DM, если площадь параллелограмма ABCD равна 1.
Решение
Пусть P – точка пересечения отрезков AN и BK, Q – BK и CL, T – CL и DM, R – AN и DM. Продолжим DM до пересечения с продолжением CB в точке O.
По теореме Фалеса AR : RP = 1 : 2.
Из подобия треугольников DRA и DTL получаем TL = ¼* AR = 1/12 *AP = 1/12 *CT. ⇒
SDTC = 12/13 SCLD = 12/13*1/8 = 3/26.
Аналогично SCBQ = 12/13*1/6 = 2/13. ⇒
SPQTR = SABCD – 2SDCT – 2SCBQ = 1 – 3/13 – 4/13 = 6/13.
Ответ: 6/13.