Решение варианта №253 ЕГЭ по математике Ларин

Задание 1. Вариант 253 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Решение

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см:

Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков

Решение

Первый попал, второй — нет:

$$0,7\ast 0,2=0,14.$$

Первый нет, второй да:

$$0,3\ast 0,8=0,24.$$

Вероятность, что попадет только один:

$$P=0,14+0,24=0,38.$$

Задание 5

Решение

Наименьший корень составляет -10.

Ответ: -10.

Задание 6

К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 5, 7 и 13. Найдите периметр треугольника АВС.

Решение

Периметр большого треугольника равен:

P = 5+7+13=25.

Здесь нужно воспользоваться свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки.

Ответ: 25.

Задание 7. Вариант 253 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Функция y=f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5. На промежутке (-1;4] она задается формулой:

$$f(x)=3-|1-x|$$ .

Найдите значение выражения: $$5f(20)-3f(-12)$$.

Решение

С учетом периода в 5:

$$f(20)=f(0)$$, $$f(-12)=f(3)$$.

Получим:

f(3) = 3-(1-3) = 1; $$f(0)=3-(1-0)=2$$.

$$5f(20)-3f(-12)=5\ast 2-3\ast 1=7.$$

Ответ: 7.

Задание 8

Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Решение

Площадь поверхности одного куба, входящего в крест:

S = 1*5 = 5 (учитываем, что одна грань лежит внутри креста , потому берем 5)

Площадь всего креста:

5*6 = 30.

Ответ: 30.

Задание 9

Найдите значение выражения:

при x = 1,2007.

Решение

Ответ: 2.

Задание 10. Вариант 253 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m=1260 тонн представляют собой две пустотелые балки длиной l = 18 метров и шириной метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в кило Паскалях, определяется формулой P=mg/2sl , где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

Решение

P = mg/2sl ⇒ Выразим ширину:

S = mg/2∗l∗p.​

S = 1260∗10/2∗18∗140 ​= 2,5.

Ответ: 2,5.

Задание 11. Вариант 253 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Подарочный набор состоит трех сортов конфет. Массы конфет первого, второго и третьего сорта в этом наборе относятся как 1:2:8. Массу конфет первого сорта увеличили на 20% ,а второго – на 6%. На сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса набора не изменилась?

Решение

Пусть x — масса первого сорта, тогда 2x — второго, 8x — третьего. Общая: 11x.

После увеличения:

$$x\to 1,2x$$; $$2x\to 2,12x$$.

Тогда масса третьих должна быть:

$$11x-1,2x-2,12x=7,68x.$$

Получим , что новая масса составляет:

(7,68x/8x)​∗100 = 96% ⇒ надо уменьшить на 4%.

Ответ: 4.

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции:

на отрезке [1;3]

Решение

Ответ: 2,7.

Задание 13

• а) Решите уравнение: (sin2x−2cosx)log2​(log1/3​​(x+5)) = 0.
• б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-3π/2; 0).

Решение

Ответ: А) -3π/2​; −4*2/3​ Б)  $$-4*2/3.$$​

Задание 14

В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, точки М и N – середины ребер АВ и В1С1 соответственно, а точка К расположена на ребре DC так, что DK=2KC. А) Найдите расстояние между прямыми MN и AK Б) Расстояние от точки А1 до плоскости треугольника MNK.

Решение

Ответ:

Задание 15

Решите неравенство:

Решение

Ответ: (0; 1/2​).

Задание 16

Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Окружность с центром в точке О проходит через вершину А, касается стороны ВС в точке К и пересекает сторону АС в точке М такой, что АМ:МС=4:1. А) Найдите отношение СК:КВ Б) Найдите длину стороны АВ, если радиус окружности равен 2.

Решение

A) 1) $$OK\perp CB$$(радиус в точку касания ), но и AO — высота $$\Rightarrow$$ A, O и K $$\in$$ AK — высота , но тогда AK-диаметр окружности.

2) $$\angle KMA=90$$(опирается на диаметр) $$\Rightarrow$$ KM-высота прямоугольного треугольника AKC.

Ответ: А)1:2 Б) 4√2.​

Задание 17

Кондитерский цех на одном и том же оборудовании производит печенье двух видов. Используя всё оборудование, за день можно произвести 60 центнеров печенья первого вида или 85 центнеров печенья второго вида. Себестоимость печенья первого вида равна 10000 рублей, отпускная цена – 15000 рублей, для печенья второго вида себестоимость равна 12000, а отпускная цена – 18000 рублей. Найдите, какую наибольшую прибыль в рублях может получить цех за день при условии, что будет использоваться все оборудование, будет продано все произведенное печенье и по договору с заказчиком должно производиться в день не менее 6 центнеров печенья каждого вида.

Решение

Пусть x-доля первого (из 60 ц ), y-доля второго(из 85) . Тогда : x+y=1. Учитывая это, и то, что минимум 6 центнеров каждого вида нужно выпустить:

Ответ: 489000.

Задание 18

Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению:

при любом значении параметра a .

Решение

Рассмотрим (2): $$2=2+a²\iff$$ $$a²=0\iff a=0$$, тогда нет смысла рассматривать , т.е. выполнение не при $$\forall a.$$

Ответ: 5.

Задание 19. Вариант 253 Ларина ЕГЭ 2019 по математике

Дано натуральное четырехзначное число , в записи которого нет нулей. Для этого числа составим дробь f(n) , в числителе которой само число n , а в знаменателе – произведение всех цифр числа n.

• А) Приведите пример такого числа , для которого f(n) = 643/160.
• Б) Существует ли такое n , что f(n) = 343/160?
• В) Какое наименьшее значение может принимать дробь f(n), если она равна несократимой дроби со знаменателем 160?

Решение

Т.е. пример числа: 3858.

Ответ: А) 3858 Б) нет В) 489/160​. 

Видео: Разбор Варианта ЕГЭ Ларина №253 (№1-15)

Видео: Разбор Варианта ЕГЭ Ларина №253 (№16-19)