Условие
- а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
- б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел меньше 1000?
- в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 129.
Решение
- а) Sn=(a1+an)/2n=10.
a1+an = 20/n.
2a1+d(n−1) = 20/n.
n — целые числа, значит n = 2,4,5,20.
Допустим n = 4.
2a1+3d = 5 — очевидно, что a1 = 1 и d = 1.
- б) Сумму находим также
2a1+(n−1)d < 2000/n
Чтобы n была наибольшей, нужно, брать наименьшие a1 и d, возьмем их равной 1 — это наименьшее натуральное число:
2+n−1 < 2000/n.
n2+n−2000 < 0.
Найдем корни этого уравнения:
x = (−1−3√889)/2.
x = (−1/+−3√889)/2.
Эти корни нужно оценить, 29<889−−−√<30
x=−1−3∗302=−45,5
x=−1+3∗302=44,5
Получаем решение неравенства (−45,5;44,5) — наибольшее натуральное число из этого интервала — 44
n=44
- в) 3a1+d(n−1) = 258/n.
n = 3,6,43,86,129,258 (по условию n >= 3)
Пусть n=3.
2a1+2d=86.
a1+d=43.
a1=37, а d=3 — подобрали пример
Пусть n=6.
2a1+5d=43.
a1=19, а d=1 — подобрали пример
Пусть n=43.
2a1+42d=6.
a1+21d=3 — тут уже не может подобрать пример, т.к a1,d — натуральные числа.
Если рассматривать дальше, то получается аналогичная ситуация.
Ответ: а) да, б) 44, в) 3,6.