Задание №19. Решение варианта №284 ЕГЭ Ларин ЕГЭ по математике

Теория чисел

Условие

Даны n≥ 3 натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию
  • а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
  • б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел меньше 1000?
  • в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 129.

Решение

  • а) ​Sn=(a1+an)/2n=10.

a1+an = 20/n.

2a1+d(n1) = 20/n.

n​ — целые числа, значит ​n = 2,4,5,20.

Допустим ​n = 4.

2a1+3d = 5​ —  очевидно, что ​a1 = 1​ и ​d = 1.

  • б) Сумму находим также

2a1+(n1)d < 2000/n

Чтобы ​n​ была наибольшей, нужно, брать наименьшие ​a1​ и ​d​, возьмем их равной 1 — это наименьшее натуральное число:

2+n1 < 2000/n.

n2+n2000 < 0.

Найдем корни этого уравнения:

x = (13889)/2.

x = (1/+3889)/2.

Эти корни нужно оценить, ​29<889−−−√<30

x=13302=45,5

x=1+3302=44,5

Получаем решение неравенства ​(45,5;44,5)​ —  наибольшее натуральное число из этого интервала  —  44

n=44

  • в)   ​3a1+d(n1) = 258/n.

n = 3,6,43,86,129,258​ (по условию n >= 3)

Пусть ​n=3.

2a1+2d=86.

a1+d=43.

a1=37​, а ​d=3​ — подобрали пример

Пусть ​n=6.

2a1+5d=43.

a1=19​, а ​d=1​ — подобрали пример

Пусть ​n=43.

2a1+42d=6.

a1+21d=3​ —  тут уже не может подобрать пример, т.к ​a1,d​ — натуральные числа.

Если рассматривать дальше, то получается аналогичная ситуация.

Ответ: а) да, б) 44, в) 3,6.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Подготовка к ЕГЭ
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: